若a,b是实数,|a|+|b|<1,求证:方程x^2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1

证明：反证法！设方程的两根为α，β，则由伟达定理有α+β=-a,α*β=b,由题设有│α+β│+│α*β│=|a|+|b|<1，于是│α+β+α*β│≤│α+β│+│α*β│＜1……①，│α+β-α*β│≤│α+β│+│α*β│＜1……②。由①可得-1＜α+β+α*β，即（1+α）*（1+β）＞0……③；由②可得α+β-α*β＜1，即（1-α）*（1-β）＞0……④。若α＞1，则1-α＜0，由④得1-β＜0，即β＞1，于是α*β＞1，这与α*β=b＜1矛盾，若α＜-1，则1+α＜0，于是由③得1+β＜0，即有β＜-1，同样有α*β＞1，矛盾！这样我们证明了必有-1＜α＜1，即│α│＜1成立，同样道理可证│β│＜1成立。证毕